Programmierung von CAx-Systemen

David Straub

Gliederung

1. Einführung
2. Topologie
3. Geometrie
4. Modellierungsstrategien
5. Datenaustausch
6. Meshing & Simulation
7. Parametrische Robustheit & Optimierung

Übersicht

1. Gitter (Mesh) – Grundbegriffe
2. STL – Oberflächentessellierung für 3D-Druck
3. FEM-Gitter & Gmsh – Vernetzung für Simulation (2D und 3D)
4. Finite-Elemente-Methode (FEM) – Struktursimulation

Lernziele

Nach dieser Einheit können Sie…

• erklären, was ein Gitter ist und warum es für Simulation gebraucht wird
• den Unterschied zwischen STL-Tessellierung und FEM-Vernetzung erklären
• ein CAD-Modell als STL exportieren und visualisieren
• mit Gmsh ein FEM-Gitter (2D oder 3D) aus einem Modell erzeugen
• eine einfache FEM-Simulation aufsetzen, ausführen und das Ergebnis plausibilisieren

Nicht erwartet: FEM-Theorie im Detail, komplexe Geometrien oder Randbedingungen.

Gitter (Mesh)

Was ist ein Gitter?

CAD-Modelle (B-Rep) beschreiben Geometrie exakt – durch mathematische Kurven und Flächen.

Ein Gitter (Mesh) ersetzt diese exakte Beschreibung durch eine endliche Menge einfacher geometrischer Grundelemente:

• 2D: Dreiecke oder Vierecke
• 3D: Tetraeder, Hexaeder, Prismen

Das Aufteilen einer Fläche in Dreiecke heißt Triangulierung. Den Prozess der Umwandlung von exakter Geometrie in ein Gitter nennt man Tessellierung.

Das Gitter ist eine Annäherung – die exakte Form wird durch viele kleine, einfache Stücke approximiert.

Warum approximieren?

Viele Berechnungen lassen sich auf exakter B-Rep-Geometrie nicht direkt durchführen.

Ein Gitter macht die Geometrie diskret – und damit für numerische Methoden zugänglich:

• Differentialgleichungen lassen sich auf Gitterpunkten lösen
• Physikalische Größen (Spannung, Temperatur, Druck) werden an Knoten oder Elementen berechnet
• Jedes Element hat einfache, bekannte Eigenschaften

Faustregel: Je feiner das Gitter, desto genauer die Annäherung – und desto mehr Rechenaufwand.

Zwei Gittertypen – zwei Zwecke

Nicht alle Gitter sind gleich – der Zweck bestimmt, was ein „gutes" Gitter ist:

STL fragt: Stimmt die Form?
FEM fragt: Sind die Elemente gut genug für die Numerik?

STL – Oberflächentessellierung

Das STL-Format

STL (Stereolithography, auch Standard Tessellation Language) ist das einfachste und verbreitetste Oberflächengitter-Format.

Gespeichert wird ausschließlich:

• eine Liste von Dreiecken (je drei Eckpunkte + Normalenvektor)

Nicht gespeichert: Topologie, Maßeinheiten, Material, Farbe.

STL beschreibt nur die Form der Hülle – sonst nichts.

STL: Dateiaufbau

Zwei Varianten: ASCII (lesbar) und Binär (5–10× kompakter, Standard in der Praxis).

ASCII-Beispiel:

facet normal 0 0 1
  outer loop
    vertex 0 0 0
    vertex 1 0 0
    vertex 0 1 0
  endloop
endfacet

Ein Dreieck = 1 facet-Block mit Normalenvektor und 3 Eckpunkten.

STL: Approximationsqualität

Die Oberfläche wird durch Dreiecke angenähert – je nach Einstellung grob oder fein:

from build123d import Box, export_stl

part = Box(10, 10, 10)
export_stl(part, "bauteil.stl", tolerance=0.1, angular_tolerance=0.1)

• tolerance: maximale Abweichung von der exakten Fläche (in mm), Standard: 0.001
• angular_tolerance: maximale Winkelabweichung zwischen benachbarten Segmenten (in Radiant), Standard: 0.1 rad ≈ 5.7°
• ascii_format: True = ASCII (lesbar), False = Binär (Standard, 5–10× kleiner)

Kleiner Toleranzwert → mehr Dreiecke → größere Datei

STL: Gültigkeitsbedingungen

STL ist nur eine Liste von Dreiecken – einzelne Flächen und offene Shells sind erlaubt.

Für den 3D-Druck muss der Körper geschlossen sein: der Slicer braucht ein definiertes Innen/Außen.

Typische Fehler – entstehen durch fehlerhafte CAD-Geometrie, nicht beim Export:

• Nicht-mannigfaltige Kanten (non-manifold edges, mehr als 2 Dreiecke an einer Kante)
• Offene Kanten (Lücken im Netz)
• Falsch orientierte Normalen

Häufige Ursache: Körper nur positioniert statt verschmolzen → fuse() / + verwenden.

build123d erzeugt bei gültiger Geometrie in der Regel fehlerfreie STL-Dateien.

STL im 3D-Druck

Workflow: CAD-Modell → STL → Slicer → Druckanweisungen (G-Code)

Der Slicer berechnet Schichten, Füllmuster und Stützstrukturen aus dem STL.

Toleranz-Entscheidung:

Für die meisten FDM-Drucker reicht 0.1 mm – die Druckauflösung ist ohnehin der limitierende Faktor.

STL visualisieren

Ein exportiertes STL lässt sich direkt zurückladen und im CAD-Viewer anzeigen:

import build123d as bd
import ocp_vscode

mesh = bd.import_stl("bauteil.stl")
ocp_vscode.show(mesh)

• Kein zusätzliches Paket nötig
• Zeigt das Gitter im gewohnten CAD-Viewer
• Gut zum Prüfen: Stimmt die Form? Dreiecke sichtbar?

Für Gitterdaten (MSH, Simulationsergebnisse) braucht man PyVista – das lernen wir im nächsten Abschnitt.

Rundzelle mit Crimp-Nut

Modellieren Sie eine zylindrische Rundzelle (18650: ∅18 mm, Höhe 65 mm) mit einer umlaufenden Crimp-Nut (ca. 3 mm vor der Oberkante, 1 mm tief, 2 mm breit).

Exportieren Sie die Zelle als STL bei zwei verschiedenen Toleranzen und vergleichen Sie:

import os, build123d as bd, ocp_vscode

mesh = bd.import_stl("rundzelle.stl")
print(f"Dateigröße: {os.path.getsize('rundzelle.stl') / 1024:.0f} KB")
ocp_vscode.show(mesh)

Frage: Wo ist eine feine Toleranz besonders wichtig – und warum?

Tessellierung: im CAD-Kernel eingebaut

Ein B-Rep-Modell besteht aus mathematischen Kurven und Flächen – eine Grafikkarte kann damit nichts anfangen.

Jede Darstellung auf dem Bildschirm braucht Dreiecke. Ohne Tessellierung: kein Bild.

Der CAD-Kernel (OCCT) tesselliert selbst – er wandelt das exakte B-Rep-Modell bei Bedarf in Dreiecke um.

build123d.export_stl, ocp_vscode.show, pyvista_cad.plot_cad – alle nutzen denselben Kern

FEM-Gitter & Gmsh

Warum ein eigenes Gitter für FEM?

STL beschreibt nur die Hülle – und hat ein anderes Qualitätsziel als FEM.

Für Simulationen braucht man:

• Elemente im Inneren (Fläche bei 2D, Volumen bei 3D) – nicht nur an der Oberfläche
• Gleichmäßig geformte Elemente – schlechte Dreiecke führen zu Rechenfehlern
• Kontrollierbare Elementgröße – fein dort, wo die Physik interessant ist
• Nachbarschaftsinformation: welche Elemente teilen einen Knoten?

STL ist für FEM ungeeignet: falsches Qualitätsziel, kein Inneres, keine Topologie.

Gitter visualisieren mit PyVista

PyVista liest alle gängigen Gitterformate – STL, MSH, VTK – und zeigt sie mit Kanten:

pip install pyvista

import pyvista as pv

mesh = pv.read("bauteil.stl")   # oder .msh, .vtk, ...
mesh.plot(show_edges=True)

• Interaktives 3D-Fenster, drehbar mit der Maus
• Zeigt Gitterkanten – Elementgröße und -form werden sichtbar
• Funktioniert für STL (Hülle) und FEM-Gitter (Fläche oder Volumen)

Damit können wir jetzt STL und FEM-Gitter direkt vergleichen.

Beispiel: Platte mit Bohrung

Gleiche Geometrie – zwei völlig verschiedene Gitter:

Ein STL-Gitter sieht auf einer ebenen Fläche spärlich aus – das ist korrekt.
Ein FEM-Gitter auf derselben Fläche ist gleichmäßig dicht – das ist nötig.

Platte mit Bohrung – STL

import build123d as bd, pyvista as pv

plate = bd.Box(100, 50, 2)
hole = bd.Cylinder(radius=10, height=2)
part = plate - bd.Pos(50, 25) * hole
bd.export_stl(part, "platte.stl")

pv.read("platte.stl").plot(show_edges=True)

• Nur die Hülle – 6 Flächen des Quaders + Bohrungswand
• Flachseiten: wenige große Dreiecke (ebene Fläche → braucht keine feinen Elemente)
• Bohrungsrand: kleinere Dreiecke (Kreisbogen muss approximiert werden)

Platte mit Bohrung – FEM-Gitter (2D)

import cadgmsh, build123d as bd, pyvista as pv

plate = bd.Box(100, 50, 2)
hole = bd.Cylinder(radius=10, height=2)
part = plate - bd.Pos(50, 25) * hole

mesh = cadgmsh.mesh(part, dim=2, lc=5)
pv.from_meshio(mesh).plot(show_edges=True)

• dim=2: 2D-Flächengitter – füllt das Innere der Platte
• lc=5: maximale Elementgröße in mm
• pv.from_meshio(mesh): direkt von cadgmsh zu PyVista – keine Datei nötig

Qualität von FEM-Gittern

Nicht jedes Gitter ist gleich gut – schlechte Elemente führen zu Rechenfehlern. Gilt für 2D und 3D:

Wichtige Qualitätskriterien:

• Elementgröße: passend zur erwarteten Detailgröße – auch auf ebenen Flächen!
• Seitenverhältnis (Aspect Ratio): Verhältnis der längsten zur kürzesten Kante – 1 ist ideal, > 10 ist problematisch
• Skewness: Winkelabweichung von der idealen Form – 0 ist ideal, → 1 ist entartet

Konvergenz:

Wenn das Ergebnis sich bei Halbierung der Elementgröße kaum noch ändert, ist das Gitter fein genug.

Zielkonflikt: feineres Gitter → genauere Ergebnisse → mehr Rechenzeit

Gmsh: Werkzeug und Workflow

Gmsh ist das Standard-Werkzeug zur FEM-Vernetzung – frei, leistungsfähig, skriptbar:

Geometrie → Gmsh → .msh → Solver

• Vernetzt beliebige 2D- und 3D-Geometrien
• Steuerbar über GUI, Kommandozeile oder Python-API
• Ausgabe als .msh – lesbar von allen gängigen Solvern

Die native Python-API ist mächtig, aber ausführlich: Geometrie aufbauen, synchronisieren, Optionen setzen, Datei schreiben, finalize – viele Schritte für ein einfaches Ergebnis.

cadgmsh: Gmsh für build123d

cadgmsh ist ein schlanker Wrapper um die Gmsh-API, der build123d-Modelle direkt entgegennimmt:

pip install cadgmsh   # installiert gmsh mit

import cadgmsh, build123d as bd, pyvista as pv

part = bd.Cylinder(radius=10, height=40)
mesh = cadgmsh.mesh(part, dim=3, lc=4)   # meshio.Mesh
pv.from_meshio(mesh).plot(show_edges=True)

Ein Funktionsaufruf – kein Zwischenschritt, keine Hilfsdatei.

Finite-Elemente-Methode (FEM)

Von Gmsh zum Solver

Das Volumengitter ist fertig – jetzt kommt die Physik.

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein numerisches Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen auf einem Gitter. Ein FEM-Solver löst diese Gleichungen elementweise:

• jedes Element liefert einen Beitrag zur Gesamtlösung
• die Elemente sind über gemeinsame Knoten gekoppelt
• das Ergebnis ist eine Näherungslösung im gesamten Volumen

Werkzeugkette:

build123d → cadgmsh → scikit-fem → Ergebnis → PyVista

pip install cadgmsh scikit-fem

Grundidee der FEM

Ein kontinuierliches Problem (Differentialgleichung im Volumen) wird auf endlich viele Unbekannte an Knoten reduziert.

Für lineare Elastizität: gesucht ist die Verschiebung an jedem Knoten.

Das führt auf ein lineares Gleichungssystem:

• : Steifigkeitsmatrix – hängt von Geometrie und Material ab
• : gesuchte Knotenverschiebungen
• : äußere Kräfte (Lastvektor)

Lösen = ein großes lineares Gleichungssystem auflösen.

Materialgesetz: lineare Elastizität

Das Hooksche Gesetz verknüpft Dehnung und Spannung :

Die Lamé-Parameter und folgen aus dem E-Modul und der Querkontraktionszahl :

In Python:

from skfem.models.elasticity import lame_parameters
lam, mu = lame_parameters(E=210e3, nu=0.3)  # Stahl, Einheiten MPa + mm

FEM-Setup: Zylinder unter Zug

An jedem Gitterknoten gibt es 3 Freiheitsgrade (DOFs): Verschiebung in x, y, z.

Randbedingungen legen fest, was bekannt ist:

Ohne Randbedingungen ist das Gleichungssystem singulär – der Körper könnte sich beliebig verschieben.

Randbedingungen in scikit-fem

Physical Groups aus cadgmsh werden direkt als benannte Ränder übernommen:

f = basis.zeros()   # Lastvektor: 1 Eintrag pro DOF, initial 0

# Unterseite: alle 3 DOFs pro Knoten fixieren (x, y, z)
fixed = basis.get_dofs(skfem_mesh.boundaries["bottom"]).all()

# Oberseite: nur z-DOFs – Kraft in z-Richtung aufprägen
top = basis.get_dofs(skfem_mesh.boundaries["top"]).nodal["u^3"]
f[top] = 1000.0 / len(top)   # 1000 N gleichmäßig verteilt

Kein Koordinatenfilter, keine Gleitkomma-Toleranz – die Geometrie ist bereits bekannt.

Von-Mises-Vergleichsspannung

Aus dem Spannungstensor wird eine skalare Vergleichsgröße berechnet:

• Fließbedingung: → kein plastisches Versagen
• Für Stahl:
• Die Von-Mises-Spannung ist die häufigste Ergebnisgröße in der FEM-Strukturanalyse

Erwartetes Ergebnis: einfacher Zugstab

Zylinder , , Stahl, Zug:

Analytische Lösung:

Plausibilitätscheck:

• Verschiebung = 0 an Einspannung, linear zunehmend nach oben
• Von-Mises ≈ 3 MPa im Kern, erhöht an Einspannung (Spannungskonzentration)

scikit-fem: Überblick

import cadgmsh, build123d as bd
from skfem.io.meshio import from_meshio

# Gitter erzeugen mit benannten Rändern
part = bd.Cylinder(radius=10, height=40)
cadmesh = cadgmsh.mesh(part, dim=3, lc=4, physical={
    "top":    part.faces().sort_by(bd.Axis.Z).last,
    "bottom": part.faces().sort_by(bd.Axis.Z).first,
})
skfem_mesh = from_meshio(cadmesh)

# Steifigkeitsmatrix (Stahl: E=210 GPa, ν=0.3)
lam, mu = lame_parameters(E=210e3, nu=0.3)
basis = Basis(skfem_mesh, ElementVector(ElementTetP1()))
K = linear_elasticity(lam, mu).assemble(basis)

# Lastvektor + Randbedingungen
f = basis.zeros()
top_dofs = basis.get_dofs(skfem_mesh.boundaries["top"]).nodal["u^3"]
f[top_dofs] = 1000.0 / len(top_dofs)
fixed_dofs = basis.get_dofs(skfem_mesh.boundaries["bottom"]).all()

# Lösen
u = solve(*condense(K, f, D=fixed_dofs))

FEM-Ergebnisse visualisieren

PyVista unterscheidet zwei Arten von Ergebnisdaten:

# Knotenbasiert – 1 Wert pro Knoten (z.B. Verschiebung)
grid.point_data["Verschiebung z [mm]"] = u[basis.nodal_dofs[2]]

# Elementbasiert – 1 Wert pro Tetraeder (z.B. Spannung)
grid.cell_data["Von-Mises [MPa]"] = vm

Danach wie gewohnt: grid.plot(scalars="...") oder pv.Plotter für mehrere Ansichten.

Vollständiger Code (inkl. Grid-Konvertierung): fem_zug_zylinder.py

Grenzen der linearen statischen FEM

Diese Einheit behandelt den einfachsten Fall: statisch, linear, isotropes Material.

Nicht abgedeckt:

Für reale Bauteile ist die Wahl des richtigen Modells mindestens so wichtig wie die Berechnung selbst.

FEM: Zug-Simulation

Führen Sie fem_zug_zylinder.py aus und überprüfen Sie:

1. Stimmt die maximale Verschiebung mit der analytischen Lösung überein?
2. Wie sieht die Von-Mises-Spannung im Kern aus – gleichmäßig?
3. Wo ist die Spannung erhöht, und warum?

Variationen:

• Elementgröße in Gmsh halbieren (-clmax 2.0) – ändert sich das Ergebnis?
• E-Modul auf Aluminium ändern:
• Kraft verdoppeln – ist die Reaktion linear?